esta ley puede ser ejemplficada describiendo el enfriamiento de una taza de café caliente a 50°C en un ambiente climatizado a 20°C. Antes de solucionar problemas de este tipo vamos a aprender como solucionar esta ecuación diferencial.
esta es una ecuación diferencial que podemos solucionar por separación de variables. La separación de variables consiste en dejar de un lado de la igualdad la variable dependiente y su derivada y del otro lado de la igualdad la variable independiente con su respectiva derivada.
Como podemos apreciar, en la ecuación diferencial tenemos la variable de temperatura y su derivada dT, tambien vemos que tenemos la derivada del tiempo dt. por lo cual vamos a dejar del lado izquierdo la variable Temperatura y su derivada.
Ahora tenemos la variable Temperatura del lado Izquiero y su derivada, del lado derecho hemos dejado la derivada del tiempo junto con la constante K. Despues debemos integrar ambos lados de la igualdad.
Podemos ver que tanto Tm como K son constantes, por lo tanto para el primer caso aplicaremos la integral de du/u.
la integral del primer termino es un logaritmo y del segundo simplemente es la variable t, mas una constante C. Ahora bien, debemos encontrar el valor de C, para dar una solución particular a la ecuación diferencial.
Con las condiciones iniciales que sabemos, las cuales son: cuando el tiempo es cero, es decir en el momento inicial cuando se empieza a enfriar el objeto, este mismo tendra una Temperatura inicial, por lo tanto decimos que, cuando el tiempo es cero, la temperatura del objeto es la temperatura inicial To.
Entonces sustituimos estos valores en la ecuación de arriba.
t=0 T=To
De esta ecuación concluimos que C es igual al logaritmo de la Temperatura inicial menos la Temperatura del medio ambiente.
como ya conocemos el valor de la constante C, la podemos sustituir en la ecuacion integrada.
Ahora volvemos a dejar todas las variables de la Temperatura del lado izquierdo de la igualdad, por lo tanto pasaremos el termino con logaritmo a la izquierda.
Aplicamos las propiedades de los logaritmos
Entonces
Para poder despejar la temperatura T, debemos de exponenciar a ambos lados de la igualdad:
Luego, como el logaritmo y la exponenciación son operaciones inversas, se "anulan" entre sí, o lo que es lo mismo es =1.
Ahora despejamos a T:
Por lo tanto esta es la solución particular de esta ecuación diferencial, la cual podemos aplicar a problemas de variación de temperatura debido a la transferencia de calor.
