Esto quiere decir que: la integral de una función en un intervalo cerrado [a,b] es igual a la antiderivada de esa función evaluada con el límite superior menos la evaluación con el límite inferiror. Y este resultado representa el área bajo la curva descrita por dicha función.
Esta integral se resuleve de la misma forma que la integral indefinida, sin embargo a la antiderivada F(x) no se le agrega la constante de integración C. La única diferencia entre la indefinida y definida es que, al final tendremos que evaluar la antiderivada F(x) con los limites que nos dan: F(x)=F(b)-F(a)
Veamos un ejemplo:
Encontrar el valor de la integral definida de la siguiente función, en el intervalo [1,3]:
lo primero que tenemos que hacer, es expresarlo en forma de integral definida:
y si lo graficamos lo veríamos de la siguiente forma:
con sus límites superior e inferior.
1. resolvemos la integral como si fuese una indefinida
2. Nos quedamos con la antiderivada que obtuvimos, sin incluir a la constante de integración C.
3. ahora tendremos que evaluar a esta función, primeramente con el limite superior 3 y restarle la evaluación de la función con el límite inferior 1. es decir entre el intervalo [1,3]
la primera evaluación F(3)=165/4 y F(1)=119/12
por lo tanto recordemos que F(x)=F(b)-F(a), entonces
F(x)=F(3)-F(1) F(x)=165/4 - 119/12 F(x)=94/3 F(x)=31.3333
Entonces el valor de la integral indefinida de la función en el intervalo [1,3] es de:
F(x)=31.3333
La integral definida también es conocida como el área bajo la curva, como se muestra en la figura. El área sombreada de azul, sería el área bajo la curva limitada por el intervalo [a,b]
Cuando un área está sobre el eje x, se dice que es positiva y cuando está por debajo se dice que es negativa y se debe convertir en positiva para poder encontrar su valor, ya que un área nunca debe ser negativa. Para convertir un área negativa a positiva se debe multiplicar por (-1) o agregar el signo (-) antes de la integral que representa esta área.
Ejemplo:
En la imagen anterior observamos que hay dos áreas, una sobre el eje "x" y la otra bajo este. Necesitamos saber el área total sombreada de azul, por lo que tenemos que integrar la función en todo el intervalo, pero si integramos de una sola vez, las áreas se van a restar en vez de sumarse, puesto que una es positiva y otra negativa.
Entonces ¿Que debemos hacer? Bueno, primeramente tendremos que dividir la integral general en el numero de áreas que hay, es decir en dos. y los intervalos también se dividirán. Para esto tendremos que encontrar el valor de "x" donde la gráfica intersecta (cruza) al eje x.
Para esto, se iguala la función de la gráfica a cero y se resuelve, puesto que el máximo exponente de x es 3, debe tener 3 soluciones.
Resolvemos la ecuación y los siguientes valores son las soluciones.
x=0.91909 x=-1.13781 x=-4.78128
Si observamos, el intervalo de integración es de [0,2] entonces vamos a tomar los valores de la solución que estén dentro de este intervalo, es decir el primer valor de x=0.91909
Entonces, los nuevos intervalos serán: [0,0.91909] y [0.91909,2]
Como son dos áreas, el intervalo se divide en dos al igual que la integral, además la segunda área es negativa por lo que tenemos que agregar un signo (-) a la segunda integral:
Luego hacemos las evaluaciones correspondientes a cada limite:
después sustituimos
Entonces, realizaremos los cálculos y obtendremos que el área total de las dos áreas sombreadas es: 13.57 unidades cuadradas.
Ejemplo: Determinar el valor de la integral definida de la siguiente función
Paso 1: debemos integrarla y luego indicar que la evaluaremos con los limites dados.
la anterior imagen muestra la integral de esa función y está indicado que se evaluará desde -1 hasta 3.
Paso 2: sustituir los limites, inferior y superior, recordemos que el superior va primero.
Después procederemos a resolver las operaciones que están dentro de los paréntesis.
Dando como resultado lo anterior, el valor de la integral definida solicitada es: 85.333 unidades cuadradas.
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